《線性代數(shù)》學習中三次方程求根方法探討

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【摘要】在線性代數(shù)學習中，學生經(jīng)常會遇到方程求根問題，如系數(shù)矩陣為方陣且含有參數(shù)的線性方程組解的判別，方陣的特征值的計算等均以方程的求根為基礎(chǔ).矩陣階數(shù)越高對應(yīng)方程的次數(shù)就越高，而高次方程的求解一直是個難點.本文以三元線性方程組解的判別和三階方陣求特征值的問題為出發(fā)點總結(jié)歸納了三次方程的幾種求根方法.

【關(guān)鍵詞】三次方程;方陣特征值;系數(shù)矩陣含參數(shù)的線性方程組解的判別

【基金項目】本文系湖南省普通高等學校教學改革研究項目（項目編號：HNJG-2020-0628）;湖南省2020一流課程《線性代數(shù)》項目.

《線性代數(shù)》是高等學校理科、工科及經(jīng)濟類等非數(shù)學專業(yè)本科生必須學習的一門公共基礎(chǔ)課程，該課程具有概念多、抽象、邏輯嚴密等特點.線性代數(shù)知識體系中，包含兩個重要內(nèi)容，一個是線性方程組解的判別，另一個是方陣特征值的計算.眾所周知，《線性代數(shù)》是以線性方程組為主線發(fā)展起來的，從而線性方程組解的判別與求解對于學習線性代數(shù)十分重要.方陣特征值與特征向量是計算方陣高次冪、二次型化標準型的重要方法的基礎(chǔ).

由此我們發(fā)現(xiàn)解決例1、例2均以求方程的根為基礎(chǔ).很多學生對解決例1和例2的方法步驟是比較清晰的，但是卻沒有得到最后結(jié)果.經(jīng)過調(diào)查分析我們發(fā)現(xiàn)，主要問題在于學生不會計算高次方程的根.下文就方程求根問題，結(jié)合線性代數(shù)知識列舉幾種方程求根方法.

1整系數(shù)多項式的有理根

2利用行列式的性質(zhì)尋找根

3直接利用三次方程的通用求根公式

3.1將一般三次方程轉(zhuǎn)化為不完全三次方程

4結(jié)語

線性方程組在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用是非常廣泛的，不僅可以廣泛地應(yīng)用于數(shù)學自身，還可以應(yīng)用于經(jīng)濟學、統(tǒng)計學、工程學、計算機科學、物理學、力學、通信、航空等學科和領(lǐng)域，相關(guān)問題均可將問題轉(zhuǎn)化為線性方程組求解.特征值與特征多項式也廣泛地應(yīng)用于數(shù)學自身，如，F(xiàn)ibonacci數(shù)列通項公式計算、矩陣高次冪的運算、二次型的標準化等，同時也應(yīng)用于其他領(lǐng)域，如統(tǒng)計學中的主成分分析法.本文所介紹的三次方程求根方法為線性方程組解的判別、特征值的計算提供了更多途徑，幾種方法之間可以融合起來使用，且均可以應(yīng)用到高次方程的求解，為我們奠定學習線性代數(shù)的基礎(chǔ).

【參考文獻】

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