解析幾何中圓的公切線方程解題思路和技巧分析

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圓的公切線方程是對(duì)高中數(shù)學(xué)“圓的切線、切點(diǎn)弦”相關(guān)知識(shí)的拓展，該內(nèi)容對(duì)學(xué)生的發(fā)散思維、邏輯思維以及應(yīng)變思維能力都有一定要求.本文主要從解題思路和解題技巧兩個(gè)角度對(duì)圓的公切線方程教學(xué)進(jìn)行探討.

1 圓的公切線方程簡(jiǎn)介

1. 1 圓的公切線方程

公切線是指同時(shí)與曲線 y=f(x),y=g(x) 相切的直線.圓的公切線是一種特殊的曲線公切線，通常以函數(shù)來表示，根據(jù)圓的性質(zhì)可以將其分為外切公切線和內(nèi)切公切線[1].當(dāng)公切線位于兩個(gè)圓的同側(cè)時(shí)，則稱該公切線為圓的外公切線，當(dāng)公切線位于兩個(gè)圓的不同側(cè)，則稱該公切線為圓的內(nèi)公切線，如圖1所示.

1. 2 圓的公切線方程解題思路

假設(shè)圓 O1:x2+y2+B1x+C1y+D1=0(B12 +C12-4D1>0? ，圓 O2:x2+y2+B2x+C2y+ D2=0(B22+C22-4D2>0) ，并且兩圓之間的關(guān)系為內(nèi)切，則可以直接將兩式聯(lián)立后相減，得到經(jīng)過兩圓交點(diǎn)的直線即兩圓公切線[2].

由 ①-② 可得： (B1-B2)x+(C1-C2)y+ (D1-D2)=0.

圖1

兩公式相減后代表的含義與兩圓的關(guān)系存在關(guān)聯(lián)：（1）當(dāng)兩圓為內(nèi)切關(guān)系時(shí)，兩圓的公切線僅有一條，此時(shí)兩公式相減后得到僅有的公切線；（2）當(dāng)兩圓為外切或外離關(guān)系時(shí)，兩公式相減后得到的公切線為兩圓的內(nèi)公切線，此時(shí)剩余公切線與內(nèi)公切線平行或相交.

2 兩圓內(nèi)切的公切線解題技巧

兩圓內(nèi)切時(shí)，其公切線僅有1條，此時(shí)兩圓的坐標(biāo)關(guān)系如圖2所示.

圖2

計(jì)算兩圓公切線時(shí)，可以直接將兩圓的方程相減，得到兩圓的唯一公切線，解題思路為：

例1計(jì)算圓 ?1:x2+y2-4x-16=0 ，與圓?2:x2+y2+2x-4=0 的公切線.

通過分析可以發(fā)現(xiàn) ?2 的圓心 (0,-1) 在 ?1 的圓心內(nèi)，并且兩圓的半徑相差等于圓心距，由此可以判斷兩圓的關(guān)系為內(nèi)切，此時(shí)兩圓公切線僅有1條，對(duì)于該內(nèi)切兩圓，可設(shè)公切線方程，利用圓心到切線距離等于半徑的性質(zhì)來解得公切線方程 2x+ y+6=0

3 兩圓外切的公切線解題技巧

兩圓外切可以分為兩個(gè)半徑相等的圓外切以及兩個(gè)半徑不等的圓外切，如圖3所示.

圖3

其中半徑相等時(shí)的兩圓外切公切線只需借助兩圓半徑以及外切線和內(nèi)切線的平行關(guān)系則可以輕易求出，因此本文以例2分析兩外切圓半徑不等時(shí)的公切線計(jì)算方式.

例2過點(diǎn) 作圓 x2+y2=1 的兩條切線，其切點(diǎn)分別為 A,B ，求

本題實(shí)質(zhì)上可以通過作輔助外切圓的方式計(jì)算.首先假設(shè)存在與圓外切但半徑不同的圓(x-n)2+(y-m)2=1 ，此時(shí)兩圓相減后得到：2nx+2my-n2-m2=0 ,得到兩圓的內(nèi)切線,隨后根據(jù)兩圓內(nèi)切線和外切線的幾何關(guān)系，計(jì)算圓 x2+y2=1 與兩圓的切線并得到切點(diǎn)，最終得出

兩圓外離的公切線解題技巧

兩圓外離可以分為兩個(gè)半徑相等的圓外切以及兩半徑不等的圓外切，如圖4所示.

圖4

其中半徑相等時(shí)的兩圓外里公切線只需借助兩圓半徑以及外切線和內(nèi)切線的平行關(guān)系和相交關(guān)系即可以輕易求出，因此本文以例3分析兩外離圓半徑不等時(shí)的公切線計(jì)算方式.

例3計(jì)算圓 ?1:x2+y2=1 ，與圓 ?2 ·(x-6)2+y2=4 的所有公切線方程。（剩余1922字）