手拉手”模型變式拓展及解法探究

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“手拉手”模型作為初中幾何部分非常重要的問題模型，考查的知識點(diǎn)往往比較豐富，解法靈活，所以極受命題者們的青睞.本文中首先簡要介紹“手拉手”模型，然后嘗試從改變條件入手談一談其變式拓展，最后探究其變式拓展的解法.希望通過這樣的研究一方面幫助教師拓展授課思路，另一方面間接幫助學(xué)生提高解決問題的能力.

1“手拉手”模型介紹

兩個有公共頂點(diǎn)且頂角相等的三角形組成的圖形叫“手拉手”模型.從圖形的表現(xiàn)來看，就是從一個頂點(diǎn)出發(fā)的四條線段，兩兩相等（或者對應(yīng)成比例），并且它們所組成的夾角相等.如圖1所示，如果邊兩兩相等，就會出現(xiàn)全等三角形；若對應(yīng)邊成比例，則會出現(xiàn)相似三角形.

圖1

從圖1也可以看出，“手拉手”模型也就是旋轉(zhuǎn)，或者叫旋轉(zhuǎn)模型，即凡是一個圖形繞某個頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，都會出現(xiàn)這種模型.無非就是旋轉(zhuǎn)的圖形不同，以及旋轉(zhuǎn)過程中是否有圖形的縮放.當(dāng)然，還有部分題目并未呈現(xiàn)“手拉手”模型，而是需要解題者根據(jù)需要添加輔助線構(gòu)造出“手拉手"模型.

2變式拓展及解法探究

常見的“手拉手”模型主要由直角三角形旋轉(zhuǎn)組成，當(dāng)然也會由其他圖形組成，如正方形、等腰三角形、等邊三角形、等腰直角三角形等.下面重點(diǎn)介紹其變式拓展.

變式一共頂點(diǎn)的等邊三角形“手拉手”

這種變式就是將“手拉手”的圖形由直角三角形變換為等邊三角形.如下面這道例題：

例1如圖2，在直線 A C 的同一側(cè)作等邊三角形ABD和等邊三角形 B C E ，連接 A E 與 C D .求證：

變式二正方形和等腰直角三角形“手拉手”

這種變式受正方形“手拉手”與等腰直角三角形“手拉手”的啟發(fā)，將正方形和等腰直角三角形一起“手拉手”那么，這種變式怎樣解決呢？看下面例2：

例2如圖4，在等腰直角三角形 A D C 中， .A D=4. 點(diǎn) E 是 A D 的中點(diǎn)，以DE為邊作正方形DEFG，連接A G，C E .將正方形DEFG繞點(diǎn)D 順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為 α 。（剩余913字）