高中數(shù)理化

2025年10期

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祖恒原理：跨越千年的幾何智慧，照亮體積計算的航道 1祖恒原理的數(shù)學(xué)史發(fā)展祖晅原理是中國古代數(shù)學(xué)史上的重要成就，其發(fā)展脈絡(luò)也是球體體積公式的發(fā)現(xiàn)過程. 1. 1 《九章算術(shù)》中的公式《九章算術(shù)》中記載：置積（立方）尺數(shù)，以十六乘之，九而一，所得開立方除之，即立圓徑.相當(dāng)于給出了已知球的體...

立足基礎(chǔ) 探尋規(guī)律 直線與圓相結(jié)合的問題是高考的重要考查知識點，逐步成為近幾年的高考熱點題型.解題的核心在于探討點、直線與圓之間的相互關(guān)系，深人分析點與圓之間的距離、直線與圓的交點情況以及圓在平面中的位置，這對邏輯推理能力有著較高的要求.本文分析一些熱門題型，...
導(dǎo)數(shù)的幾何意義應(yīng)用解密 導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即導(dǎo)數(shù)值表示曲線 y = f （ x ）在點處切線的斜率，其充分體現(xiàn)了數(shù)與形的完美結(jié)合.切線問題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，具有一定的綜合性.縱觀近十年的高考試題，可以發(fā)現(xiàn)曲線的切線問題是考查的一大熱點.基于此，本文借...
琴生不等式的教材溯源及其應(yīng)用 琴生不等式是數(shù)學(xué)中一個重要的不等式，它描述了凸（凹）函數(shù)在數(shù)值平均與函數(shù)平均之間的不等式關(guān)系，在證明不等式和處理凸（凹）函數(shù)相關(guān)問題中有著廣泛的應(yīng)用 1琴生不等式的教材溯源琴生不等式在高中階段是沒有作具體要求的，因為它是高等數(shù)學(xué)研究函數(shù)的...
拓廣探索教考銜接 ¹²（1.2.） 2025年高考綜合改革適應(yīng)性測試（以下簡稱2025年八省聯(lián)考）高中數(shù)學(xué)試題由教育部統(tǒng)一命制，主要是針對第五批高考綜合改革的八個省、自治區(qū)進行的一次大規(guī)模的調(diào)研考試.2025年八省聯(lián)考具有影響力大、權(quán)威性...
傳承中考查“四層四翼” 創(chuàng)新中落實核心素養(yǎng) 近五年高考數(shù)學(xué)卷中全面考查了解三角形的基本知識，命題方式新穎別致，緊扣《中國高考評價體系》中的“一核、四層、四翼”，試題體現(xiàn)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》中提出的數(shù)學(xué)運算、邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)....
2024年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)I、Ⅱ卷圓錐曲線試題的變式訓(xùn)練研究 2024年新課標(biāo)卷對解析幾何部分的考查突出基礎(chǔ)性、綜合性、創(chuàng)新性，凸顯數(shù)學(xué)本質(zhì)，對學(xué)生的數(shù)學(xué)運算、邏輯推理、直觀想象等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)有極好的檢測功能.本文深度分析2024年高考解析幾何部分試題，以期幫助學(xué)生看清試題考查的數(shù)學(xué)本質(zhì). 1注重...
賞析與數(shù)字2025有關(guān)的數(shù)學(xué)題 數(shù)學(xué)題的命制離不開數(shù)字，將當(dāng)年的年份巧妙編進高考試題不但能使數(shù)學(xué)題產(chǎn)生年代感，而且也增添幾分趣味.時值2025年，與數(shù)字2025有關(guān)的數(shù)學(xué)新題應(yīng)運而生，本文分類列舉幾道例題，與大家共賞. 1抽象函數(shù)的函數(shù)值問題例1 已知定義在上的函數(shù)...
對一道解三角形“正切比模型”問題的探及思考 在高三復(fù)習(xí)備考中，學(xué)生不應(yīng)局限于對題自的具體解答和重復(fù)訓(xùn)練，而應(yīng)對問題進行深層次的探究及引申，充分挖掘題目的內(nèi)涵和外延，用更高的觀點去看待問題.本文以一道“正切比模型”問題為例，闡述它的解法探究、解法辨析、一般化推廣及試題遷移.2025年湖...
從定比分點的視角看解三角形 解三角形作為高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，在高考中占有重要的地位，所以對三角形各種性質(zhì)的研究是學(xué)生日常學(xué)習(xí)的重點.“奔馳定理”的常規(guī)認(rèn)識是通過向量的角度并結(jié)合三角形重心的性質(zhì)推導(dǎo)得出的，本文從定比分點的視角，對“奔馳定理”進行探究，以期幫助學(xué)生對三角...
高考“思維型”試題及分類解析 高考數(shù)學(xué)歷來重視創(chuàng)新命題情境和對數(shù)學(xué)思維的考查，2025年1月9日教育部為第五批高考改革試點的八個省、自治區(qū)（河南、陜西、山西、四川、云南、青海、寧夏、內(nèi)蒙古）命制了2025年高考綜合改革適應(yīng)性測試（以下簡稱2025年八省聯(lián)考）.2025年...
2024年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)1卷第13題解析與變式訓(xùn)練 導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及平面解析幾何的核心知識，是高考的高頻考點.2024年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)I卷的第13題聚焦該考點考查兩條曲線的公切線問題，該題題型多變、解法靈活且具有顯著的區(qū)分度.為加深學(xué)生對這類題型的理解，本文以該題為例，進一步對其進行變式訓(xùn)...
聚焦高考常見二項式定理相關(guān)題型的深度剖析 二項式定理是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是高考數(shù)學(xué)考查的重點內(nèi)容，在試卷中占有一定分值.在歷年高考中，二項式定理常以客觀題的形式出現(xiàn)，并且相關(guān)試題的命題風(fēng)格與考查方向相對穩(wěn)定.本文深入剖析與二項式定理相關(guān)的常見題型. 1求二項式展開式中的特定項及...
對教材一個公式的理解、拓展與應(yīng)用 教材是知識的載體，教材中的每一道例題和習(xí)題都具有極高的價值.總覽近幾年數(shù)學(xué)高考試題，大多數(shù)試題都能在教材中找到“原型”，它們或是“原型”的變式題，或是“原型”的適度拓展引申題.因此應(yīng)該重視教材例題、習(xí)題的學(xué)習(xí)與研究，尤其是對學(xué)生解題大有幫助...
需要重視的命題新動向 《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》雖未明確指出對反函數(shù)的考查要求，但從教材內(nèi)容來看，對于反函數(shù)的學(xué)習(xí)，學(xué)生需要掌握函數(shù) y = 與互為反函數(shù)以及反函數(shù)的定義域和值域分別是原函數(shù)的值域和定義域等知識.教材配套的習(xí)題也...
正態(tài)分布問題的重點題型及求解對策 正態(tài)分布問題是概率統(tǒng)計中比較重要的組成部分，由于其自身的特點以及在實際生活中應(yīng)用廣泛，已越來越受到高考命題專家的青睞.為確保全面掌握題型變化并實現(xiàn)解題過程的完整性，有必要深入剖析其核心題型特征并構(gòu)建系統(tǒng)化解題策略.基于此，本文系統(tǒng)梳理該類問...
探究三角形兩邊比值的取值范圍 1 引例題目在△ABC中，角 A ， B ， C 的對邊分別為，且 B C 邊上的高為 a，則的最大值為（）. A.8 B.6 C.32 D.4 解析因為 B C 邊上的高為，所以則 .由余弦定理得整理得即 .因為 A...

指向數(shù)學(xué)新高考的考前攻略 2025年高考已悄然臨近，本文針對新高考背景下的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)備考，給出一些考前復(fù)習(xí)策略與應(yīng)對方法，供讀者參考. 1 回歸教材，夯實基礎(chǔ) 從2024年的九省聯(lián)考、高考到2025年的八省聯(lián)考來看，新高考數(shù)學(xué)意在引導(dǎo)高中數(shù)學(xué)教學(xué)遵循課程標(biāo)準(zhǔn)，夯實學(xué)生...
從知識方法到思維品質(zhì) 1 引言《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》要求高考命題中應(yīng)特別關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中思維品質(zhì)的形成.衡量一個人的思維品質(zhì)主要包括廣闊性、深刻性、敏捷性、靈活性、獨創(chuàng)性和批判性，這六個維度共同塑造了一個人的思維品質(zhì)進階路線（...
在高考命題視角下，探討直觀想象核心素養(yǎng)的落實及應(yīng)對策略 直觀想象是高中數(shù)學(xué)學(xué)科六大核心素養(yǎng)之一，在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）中，對高考命題建議指出：高考命題要注重對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的考查.在命題中，選擇合適的問題情境考查數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，每...
高考數(shù)學(xué)選擇題和填空題常規(guī)解題方法及技巧點撥 隨著高考新一輪改革的進行，數(shù)學(xué)試題的選擇題、填空題由原來“ 8 + 4 + 4 ”模式變成了現(xiàn)在的“ 3 + 3 模式，分值也由原來的80分變成了現(xiàn)在的73分，雖然分值有所減少，但這仍然占據(jù)了卷面分值的半壁江山.高考數(shù)學(xué)的選擇題和填空題只...
從函數(shù)的幾何特征入手尋求導(dǎo)數(shù)的破題之法 在北京高考數(shù)學(xué)命題中，導(dǎo)數(shù)問題已突破傳統(tǒng)知識考查的邊界，成為檢驗學(xué)生多維能力的關(guān)鍵載體本文以一道經(jīng)典導(dǎo)數(shù)題目為例，對該題進行多角度分析，以期為學(xué)生復(fù)習(xí)備考提供有益的參考. 1 試題呈現(xiàn) 題目已知函數(shù) ，曲線 f （ x ）在（ - 1...
觀察分析適當(dāng)轉(zhuǎn)化多想少算提升思維 高中數(shù)學(xué)作為一門重要的基礎(chǔ)學(xué)科，在培育學(xué)生邏輯思維、抽象思維以及創(chuàng)新思維方面發(fā)揮了重要作用.然而，審視當(dāng)前學(xué)生學(xué)習(xí)現(xiàn)狀，不難發(fā)現(xiàn)學(xué)生常常深陷大量機械性的計算練習(xí)之中，過度關(guān)注運算結(jié)果，卻嚴(yán)重忽視了對數(shù)學(xué)問題內(nèi)在本質(zhì)的深度觀察與精準(zhǔn)分析，進而...
數(shù)學(xué)解題的根基：軌跡意識與動態(tài)思維 在許多變化的幾何問題中，用動態(tài)化視角分析靜態(tài)化的數(shù)學(xué)背景，有時能從試題背景中挖掘到蘊藏“動點運動軌跡”的思維頓悟點.運用這種動態(tài)數(shù)學(xué)思維解決問題，可以優(yōu)化解題過程，發(fā)散數(shù)學(xué)思維.基于此，本文結(jié)合典型的試題，溯源歸納出6種類型的軌跡背景，并體...
立體幾何考題分析及備考建議 2024年新課標(biāo)I卷與新課標(biāo)Ⅱ卷在立體幾何方面的命題風(fēng)格仍保持穩(wěn)定，其核心考點是幾何體表面積與體積、線面關(guān)系、線面角與二面角等，試題均以學(xué)生熟悉的棱錐、棱臺、圓柱等圖形為背景，難度整體分布在高、中、低檔各個區(qū)間，既能考查學(xué)生的直觀想象、邏輯...
從教材習(xí)題談?wù)勶h帶函數(shù)及其應(yīng)用 教材習(xí)題是高考復(fù)習(xí)備考的重要資料，挖掘習(xí)題的價值、回歸教材是提高復(fù)習(xí)備考效率的重要環(huán)節(jié).本文對一道教材習(xí)題進行多角度分析，探究出了幾個一般性的性質(zhì)，希望能為學(xué)生復(fù)習(xí)備考提供參考. 1 問題的提出題目（人教A版普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第一冊 ...
歸教材探題根尋解法談“銜接” 《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《課標(biāo)》和《中國高考評價體系》指出，高考試題命制的原則是“源于教材，又高于教材”.對于這一要求，2025年高考綜合改革數(shù)學(xué)適應(yīng)性測試試卷落實得很到位，此次的數(shù)學(xué)適應(yīng)性測試題是由...
解析幾何中關(guān)于三角形“四心”問題探究 三角形的“四心"是指三角形的重心、垂心、內(nèi)心、外心.解析幾何中時常出現(xiàn)有關(guān)“四心”的問題，這也體現(xiàn)了平面幾何與解析幾何密切相關(guān).解決此類問題不但需要熟練掌握解析幾何問題的求解策略，還需要注重三角形“四心"的特點與應(yīng)用.本...
警惕點差法“失效” 在直線與圓錐曲線問題中，學(xué)生有時會遇到一類中點弦問題.解決這類問題常采用點差法，點差法可以巧妙地將斜率公式、中點坐標(biāo)公式結(jié)合起來，減小計算量，提高解題速度，因此它具有很好的推廣價值和實用性.在使用點差法求解涉及雙曲線的“中點弦”問題時，常常...
高考數(shù)學(xué)臨場答題技巧分享 高考對大多數(shù)學(xué)生來說是人生的重要節(jié)點，三年的學(xué)習(xí)固然重要，但臨場發(fā)揮的作用也不容忽視.正所謂“養(yǎng)兵千日，用兵一時”，如何在高考中發(fā)揮出自己的潛力，這就需要掌握一定的實戰(zhàn)技巧. 1時間分配要科學(xué)合理高考通常會提前5分鐘發(fā)放試卷，利用這段時間...
高考數(shù)學(xué)考前30天沖刺計劃 隨著高考的臨近，有些考生不知該如何利用好考前30天，甚至有的考生認(rèn)為大局已定.其實只要做好計劃，按計劃充實度過每一天，一定會有意想不到的收獲.那么應(yīng)該如何做，才能百尺竿頭，更進一步？筆者制訂了如下30天沖刺計劃，供考生參考. 1確定目標(biāo)，做...
基于高考新情境選擇壓軸題的題型剖析與求解策略 本文圍繞高考數(shù)學(xué)新情境選擇壓軸題展開，詳細(xì)剖析以新概念、新運算、新性質(zhì)、新背景、新公式為背景的題型.通過典型例題解析，總結(jié)解題思路與方法，并給出備考建議，旨在助力學(xué)生攻克此類難題，提升備考效率. 1引言近年來，選擇壓軸題巧妙地融入新概念、...
解透一題拓廣探究觸類旁通回歸本質(zhì) 什么是外接球？若幾何體的所有頂點都在一個球的球面上，則稱這個球為該幾何體的外接球.外接球半徑是指球心到多面體任意一個頂點的距離.立體幾何的外接球是立體幾何模塊重要內(nèi)容，也是高考熱點問題，這類問題蘊含著極其重要的數(shù)學(xué)思想和方法，對知識、方法、...
聚焦平面向量中的取值范圍(最值)問題 平面向量中的最值問題在高中數(shù)學(xué)中頗為常見，它融合了多個知識點，是數(shù)學(xué)知識體系的一個重要交會點.這類問題通常綜合考查學(xué)生對平面向量定義、性質(zhì)、定理及運算法則的掌握情況和應(yīng)用能力.平面向量背景下的最值問題，因其綜合性強、涉及知識點廣泛、解法靈活...
利用零點存在定理探索零點問題的取點策略 零點問題（包括極值點問題）是函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的核心問題，常出現(xiàn)在近幾年的高考試題中.此類問題雖然難度較大，技巧性較強，但實際上有其基本規(guī)律和通性通法.解決此類問題時，利用零點存在定理來分析函數(shù)零點的個數(shù)是一種常見的解題思路，但學(xué)生往往難以掌握其中...
例談高考數(shù)列不等式證明中通項放縮的策略 數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是高等數(shù)學(xué)研究極限的重要載體，是初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的重要銜接點，更是各地高考中的熱點和難點，而數(shù)列不等式的證明更是難點中的難點.此類問題所對應(yīng)的數(shù)列一般不能直接求和，通常需要對通項或求和后的結(jié)果進行適當(dāng)變形放縮后...
例談柯西不等式在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用 （人教A版普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第二冊習(xí)題6.3第16題）用向量方法證明：對于任意的，d ∈ R ，恒有不等式上述習(xí)題中的不等式是二維柯西不等式.柯西不等式是高中數(shù)學(xué)中的經(jīng)典不等式之一，也是高中數(shù)學(xué)不等式版塊的必備知識.n 維柯西不...
三點共線問題背景下三角形中線段的交點問題探究 1三角形中的第一個性質(zhì) 性質(zhì)1 在△ABC中，已知 1），與 C E 交于點 P ，且，則證明如圖1所示，由條件可得圖1 因為 C， P， E 三點共線，所以即值得一提的是，該性質(zhì)的應(yīng)用過程中， x ， y 的取值要準(zhǔn)確，...
已知遞推關(guān)系求通項an的幾種技巧 在高中階段，等差數(shù)列與等比數(shù)列是數(shù)列模塊的學(xué)習(xí)重點.在已知遞推關(guān)系求解通項公式的過程中，常利用構(gòu)造法將問題轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列問題.在這一過程中，學(xué)生既要掌握數(shù)列的基礎(chǔ)知識，又要分析題目所給條件，準(zhǔn)確識別數(shù)列的類型. 1待定系數(shù)法型數(shù)列...
談圖示法在概率學(xué)習(xí)中的工具性作用 本文針對人教A版高中數(shù)學(xué)教材中概率部分的內(nèi)容展開深人探究，以樹狀圖、表格和Venn圖三種圖示法為工具，系統(tǒng)梳理并提煉出應(yīng)對三類典型概率問題的策略. 1概率學(xué)習(xí)在教材中的地位和價值概率是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，被編排在必修第二冊和選擇性必修第三...
“抓住”角平分線實質(zhì) 快速求解三角形問題 在解三角形問題中，如果已知三角形中的一個內(nèi)角的平分線或能夠推出某內(nèi)角的平分線，則應(yīng)充分挖掘其他條件與此條件的內(nèi)在關(guān)系，并“抓住"其特點建立相關(guān)等式求解問題.本文結(jié)合典型例題介紹解三角形問題的常用解題技巧， 1“抓住”兩個角相等例...
解析幾何問題簡化計算策略 解析幾何問題的求解是一個復(fù)雜且煩瑣的過程，其中包含著大量的字母運算與代數(shù)變形，如果處理不當(dāng)就會對解題造成很大困難.因此，在研究其解題思路、探討常規(guī)方法的同時，深化對簡化計算方法的研究很有必要，下面舉例介紹四種簡化計算的策略， 1巧用定義，揭...
站在《課程標(biāo)準(zhǔn)》的視角談2025年平面向量備考 《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》對平面向量的考查要求主要包括平面向量的概念、幾何運算與坐標(biāo)運算、平面向量基本定理以及平面向量的應(yīng)用.從近年高考試卷來看，平面向量的考題均圍繞《課程標(biāo)準(zhǔn)》的要求展開....

例析不等式的證明策略 不等式是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容.近幾年的數(shù)學(xué)強基競賽中經(jīng)常出現(xiàn)以不等式為背景的證明題，尤其是結(jié)構(gòu)具有一定對稱形式的不等式，它全面考查學(xué)生對重要不等式、基本不等式、柯西不等式，乃至琴生不等式等掌握的熟練程度，因而綜合性大、靈活性強.本文結(jié)合部分不...

2025年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試模擬試卷數(shù)學(xué)(新課標(biāo)I卷） （江西省江西師范大學(xué)瑤湖校區(qū)）（本試卷滿分150分，考試用時120分鐘）一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.） 1.已知復(fù)數(shù) （i為虛數(shù)單位），則 A. 2 2.2025...
2025年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試模擬試卷數(shù)學(xué)（新課標(biāo)Ⅱ卷) （本試卷滿分150分，考試用時120分鐘）一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.） 1.復(fù)數(shù) 為虛數(shù)單位）的模為（）. A .1 B .根號下 2 C .根號下 3 D .2...
2025年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試模擬試卷數(shù)學(xué)(北京卷) （本試卷滿分150分，考試用時120分鐘）一、選擇題（本題共10 小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.已知集合，則： A. （ - 2 ， 0 ） B.（0，2） C.（-2，3...
2025年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試模擬試卷數(shù)學(xué)（天津卷) （本試卷滿分150分，考試用時120分鐘）一、選擇題（本題共9小題，每小題5分，共45分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.設(shè)全集，集合，，則 A. B. C.{3，4} D.{2，3，4，5} ...