例談高考數(shù)列不等式證明中通項放縮的策略

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數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是高等數(shù)學(xué)研究極限的重要載體，是初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的重要銜接點，更是各地高考中的熱點和難點，而數(shù)列不等式的證明更是難點中的難點.此類問題所對應(yīng)的數(shù)列一般不能直接求和，通常需要對通項或求和后的結(jié)果進(jìn)行適當(dāng)變形放縮后才能求和.放縮法的基本思想是通過放縮將原本不能求和的數(shù)列變成可以求和的數(shù)列.下面將結(jié)合具體例題分類歸納放縮的策略.

1放縮成等差數(shù)列求和

若數(shù)列 的通項公式是關(guān)于 n 的根式且根式化簡后是 n 的1次式，可以考慮把它放縮成等差數(shù)列，如 n + 2 ：

一例1已知等差數(shù)列 的首項為1，前 n 項和為

（1）求數(shù)列 的通項公式；

（2）若 ，數(shù)列 的前 n 項和為 ，求證：

（求解過程略）.

（2）由（1）可知 所以 .由 ，可得

所以n（n+1） 又

所以n（n+1） ，即

先將數(shù)列 分別放縮成可求和的等差數(shù)列 和 ，再根據(jù)等差數(shù)列求和公式可證明.

2放縮成等比數(shù)列求和

若數(shù)列 是等比數(shù)列，數(shù)列 滿足 ka，+b'則可以通過適當(dāng)變形將b。（剩余2171字）