基于函數(shù)凹凸性命制的高考數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)試題本質(zhì)研究

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摘要：凹凸性是刻畫(huà)連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的重要工具之一.文章從高中學(xué)生認(rèn)知水平的實(shí)際出發(fā)，在介紹了函數(shù)凹凸性相關(guān)定義和定理的基礎(chǔ)上，對(duì)近年基于函數(shù)凹凸性的高考數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)試題進(jìn)行示例分析和解題本質(zhì)研究，以期為一線教師的解題教學(xué)和高考備考提供參考和啟示.

關(guān)鍵詞：凹凸性；高考數(shù)學(xué)；導(dǎo)數(shù)；試題本質(zhì)

中圖分類(lèi)號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2023）33-0069-03

美國(guó)數(shù)學(xué)家哈爾莫斯（P.R.Halmos）曾說(shuō)：?jiǎn)栴}是數(shù)學(xué)的心臟，數(shù)學(xué)的真正組成部分是問(wèn)題和解[1]；數(shù)學(xué)作為一門(mén)研究規(guī)律的學(xué)科，毫無(wú)疑問(wèn)數(shù)學(xué)解題教學(xué)有其內(nèi)在的屬性和規(guī)律，而這個(gè)屬性與規(guī)律就是數(shù)學(xué)解題的本質(zhì)[2].

凹凸性是刻畫(huà)連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的重要工具之一，不僅在高等數(shù)學(xué)中具有廣泛的應(yīng)用價(jià)值，同時(shí)也是高考數(shù)學(xué)試題命制的熱點(diǎn)[3].回顧近年高考試題發(fā)現(xiàn)，基于函數(shù)凹凸性命制的高考數(shù)學(xué)試題頻頻出現(xiàn)，但由于普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)并沒(méi)有對(duì)函數(shù)的凹凸性做具體要求，相關(guān)性質(zhì)在高中數(shù)學(xué)內(nèi)容中又分布得較為隱蔽和零散，導(dǎo)致學(xué)生不會(huì)以整體的視野去統(tǒng)整相關(guān)的內(nèi)容，更難將該思想方法順利遷移到相關(guān)的解題中去.因此，函數(shù)凹凸性的“學(xué)考分離”現(xiàn)象成為高中數(shù)學(xué)教學(xué)和高考備考中一個(gè)不容忽視的問(wèn)題.

為此，筆者從高中學(xué)生認(rèn)知水平的前提出發(fā)，在介紹函數(shù)凹凸性相關(guān)定義和定理的基礎(chǔ)上，對(duì)近年基于函數(shù)凹凸性的高考數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)試題進(jìn)行示例分析和解題本質(zhì)研究，以期為一線教師的解題教學(xué)和高考備考提供參考和啟示.

1 預(yù)備知識(shí)

定義設(shè)f（x）為定義在a，b上的連續(xù)函數(shù)，若對(duì)a，b中任意兩點(diǎn)x1，x2和任意實(shí)數(shù)λ∈（0，1）總有f（λx1+（1-λ）x2）≤λf（x1）+（1-λ）f（x2），則稱(chēng)f（x）為a，b上的凸函數(shù)；反之，如果總有f（λx1+（1-λ）x2）≥λf（x1）+（1-λ）f（x2），則稱(chēng)f（x）為a，b上的凹函數(shù).

定理[4]設(shè)f（x）為定義在a，b上的二階可導(dǎo)函數(shù)，則在a，b上f（x）為凸（凹）函數(shù)的充要條件是f ″（x）≥0（f ″（x）≤0）.

2 “ f（x）≤kx+b（或≥）”型導(dǎo)數(shù)試題的分析與結(jié)論

例1（2017年高考全國(guó)Ⅱ卷文科數(shù)學(xué)第21題）設(shè)函數(shù)f（x）=（1-x2）ex.

（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；

（2）當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≤ax+1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析（1）略；（2）因?yàn)閒（x）=（1-x2）ex，所以f ′x=ex（-x2-2x+1），

進(jìn)而有f ″x=-ex（x2+4x+1）<0在［0，+

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）上恒成立。（剩余3260字）