例析幾道數(shù)學(xué)競(jìng)賽中動(dòng)球和多球問題的解法

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在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，有一類動(dòng)球和多球問題，它們的呈現(xiàn)形式抽象，學(xué)生往往不易找到合適的解法.本文列舉幾例，旨在將抽象的動(dòng)球和多球問題具象化。

例1（2019年數(shù)學(xué)聯(lián)賽重慶市預(yù)賽第6題）已知正四面體可容納10個(gè)半徑為1的小球，則正四面體棱長(zhǎng)的最小值為——。

解析 考慮到正四面體的對(duì)稱性，當(dāng)符合要求的正四面體棱長(zhǎng)取最小值時(shí)，10個(gè)小球分布在三“層”，自上往下每層分別有1，3，6個(gè)小球，且相鄰兩層的小球之間都是相切的，并且邊緣的球均與正四面體的表面相切．設(shè)四面體的棱長(zhǎng)為 ，此時(shí)，取四個(gè)兩兩相切小球的球心構(gòu)成一個(gè)小正四面體，由球的外切知小正四面體的棱長(zhǎng)為2，則小正四面體的高為 ：由于正四面體的中心分四面體的高為1：3，所以大正四面體的高 ·2+1，解得a =4+2√6。（剩余2733字）