中學(xué)數(shù)學(xué)研究

2023年10期

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《中學(xué)數(shù)學(xué)研究》創(chuàng)刊于1980年，是由江西師范大學(xué)主管、江西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院主辦，《中學(xué)數(shù)學(xué)研究》主要介紹中國(guó)... 展開(kāi)

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基于UbD理論的單元整體教學(xué)設(shè)計(jì) 2022年4月，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《新課標(biāo)》）正式頒布.《新課標(biāo)》在教學(xué)建議中明確提出“重視單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)”的要求，改變過(guò)于注重以課時(shí)為單位的教學(xué)設(shè)計(jì)，推進(jìn)單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在邏輯關(guān)系，以...
基于深度學(xué)習(xí)的單元復(fù)習(xí)課教學(xué)設(shè)計(jì) 關(guān)于深度學(xué)習(xí)的內(nèi)涵，國(guó)內(nèi)外有很多界定，喻平教授認(rèn)為有幾點(diǎn)是相對(duì)統(tǒng)一的．（1）深度理解．即學(xué)習(xí)者對(duì)知識(shí)本質(zhì)的理解，對(duì)事物或知識(shí)意義的理解及對(duì)自我生命意義的理解．（2）高階思維．即學(xué)習(xí)者在知識(shí)建構(gòu)、問(wèn)題解決的過(guò)程中，要有多種思維形式介入以及元認(rèn)...
燃數(shù)學(xué)思想之火，升核心素養(yǎng)之華 2023年度高考藍(lán)皮書(shū)《中國(guó)高考報(bào)告（2023）》指出：未來(lái)高考命題將以“三線(xiàn)（核心價(jià)值金線(xiàn)、能力素養(yǎng)銀線(xiàn)、情境載體串聯(lián)線(xiàn)）”為框架，命題呈現(xiàn)出“無(wú)價(jià)值，不入題；無(wú)思維，不命題；無(wú)情境，不成題”的典型特征.由此觀之，新高考命題將會(huì)更加關(guān)注對(duì)...
“套路”誠(chéng)然好　“通法”價(jià)更高 一、問(wèn)題提出在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，對(duì)于典型的問(wèn)題往往都有特殊的處理方法，即固化的解答套路，如在排列組合問(wèn)題的處理中，相鄰的問(wèn)題計(jì)數(shù)用“捆綁法”，不相鄰問(wèn)題計(jì)數(shù)用“插空法”比較方便，但這些特殊的方法只適用于特殊的試題情境，故并不是通性通法，但是根據(jù)...
“補(bǔ)”教材之“白”　促數(shù)學(xué)理解 一、問(wèn)題提出教學(xué)中教師首先要吃透教材，并對(duì)教材做適當(dāng)“補(bǔ)白”，即對(duì)教材中省略的過(guò)程或單一的學(xué)材進(jìn)行調(diào)整和補(bǔ)充，這是教師根據(jù)教學(xué)需要進(jìn)行二次加工，使之更契合學(xué)生認(rèn)知現(xiàn)實(shí)的過(guò)程，也是教師教學(xué)中常態(tài)化的工作之一.下面舉例說(shuō)明. 《普通高中教科書(shū)...
優(yōu)化教學(xué)設(shè)計(jì)，落實(shí)“少教多學(xué)” 一、問(wèn)題提出著名教育家陶行知先生曾說(shuō)過(guò)：“所謂教師之主導(dǎo)作用，重在善于啟迪，使學(xué)生自?shī)^其力，自致其知，非謂教師滔滔講說(shuō)，學(xué)生默默聆聽(tīng).”其中深意就是“少教多學(xué)”的教學(xué)理念.“少教”即啟發(fā)性地教、針對(duì)性地教、創(chuàng)造性地教和發(fā)展性地教；“多學(xué)”...

一道聯(lián)考試題的命制背景探究與推廣 2023年3月份廣東省燕博園聯(lián)考的第21題解幾壓軸題是證明兩組向量的數(shù)量積相等，筆者探究發(fā)現(xiàn)，該題其實(shí)是用向量形式包裝的兩組線(xiàn)段之積相等問(wèn)題.對(duì)要證明的問(wèn)題進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，該題有一個(gè)圓錐曲線(xiàn)的性質(zhì)結(jié)論為背景. 試題已知橢圓C：x2a2+y...
一類(lèi)三角函數(shù)最值問(wèn)題的探究 三角函數(shù)最值問(wèn)題是歷年來(lái)高考考試中的重點(diǎn)問(wèn)題，具有涉及范圍廣、綜合性強(qiáng)、靈活性大等特征.因此在解決三角函數(shù)最值問(wèn)題時(shí)，需要掌握三角函數(shù)的周期性、有界性、單調(diào)性等性質(zhì)，并靈活應(yīng)用三角恒等變換，結(jié)合其函數(shù)最值特點(diǎn)進(jìn)行有效地分析.本文主要討論形如...
利用函數(shù)的凹凸性探究切線(xiàn)問(wèn)題 對(duì)于一個(gè)函數(shù)而言，切線(xiàn)的本質(zhì)是割線(xiàn)的極限形式.函數(shù)在某點(diǎn)處存在切線(xiàn)的前提是在此處可導(dǎo)，因?yàn)閷?dǎo)數(shù)的唯一性，所以函數(shù)在任意一點(diǎn)處的切線(xiàn)也具有唯一性.而在平面內(nèi)過(guò)一點(diǎn)作函數(shù)的切線(xiàn)，在一般情況下卻不止一條.2021年新課標(biāo)1卷第7題就考察了指數(shù)函數(shù)...
圖解與雙曲線(xiàn)有關(guān)的區(qū)域問(wèn)題 一、問(wèn)題提出圓是完美的圖形，學(xué)生容易理解圓的有關(guān)區(qū)域問(wèn)題，如圓分整個(gè)平面為三個(gè)部分：圓上、圓內(nèi)、圓外；再如從平面內(nèi)一點(diǎn)P做圓的切線(xiàn)的情況：當(dāng)P在圓內(nèi)時(shí)，0條；當(dāng)P在圓上時(shí)，1條；當(dāng)P在圓外時(shí)，2條.這一結(jié)論可類(lèi)比推理，在橢圓、拋物線(xiàn)中得到...
一道圓錐曲線(xiàn)題的解法探究與推廣 數(shù)學(xué)的問(wèn)題從解法來(lái)分就是兩類(lèi)：一類(lèi)方法唯一，多題一解；一類(lèi)方法兩種或兩種以上，一題多解.多題一解從通性通法的角度考察對(duì)知識(shí)的本質(zhì)性認(rèn)識(shí)；一題多解則要求學(xué)生打破常規(guī)刻板的解題思路，從不同的思維方向?qū)ν瑯訔l件進(jìn)行整合.多題一解重視學(xué)生基礎(chǔ)，而一...
助數(shù)學(xué)思維發(fā)展　促核心素養(yǎng)提升 《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》強(qiáng)調(diào)“信息技術(shù)是學(xué)生學(xué)習(xí)和教師教學(xué)的重要輔助手段，為師生交流、生生交流、人機(jī)交流搭建了平臺(tái)，教師應(yīng)注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的深度融合，實(shí)現(xiàn)傳統(tǒng)教學(xué)手段難以達(dá)到的效果.”.GeoGebra（簡(jiǎn)稱(chēng)GGB）作...

一道人教A版教材習(xí)題的變式拓展 題目（選擇性必修第一冊(cè)P89習(xí)題2.4·題8）長(zhǎng)為2a的線(xiàn)段AB的兩個(gè)端點(diǎn)A和B分別在x軸和y軸上滑動(dòng)，求線(xiàn)段AB的中點(diǎn)的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡的形狀．此題的求解過(guò)程很簡(jiǎn)單.設(shè)中點(diǎn)Px，y，坐標(biāo)原點(diǎn)為O，由題可得|OP|=|AB|...
一道拋物線(xiàn)聯(lián)考題的變式與推廣 1 試題再現(xiàn) 題目（2023屆江西省“新八?！备呷蠈W(xué)期第一次聯(lián)考理數(shù)第8題）如圖１，拋物線(xiàn)E：y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，過(guò)F且斜率為1的直線(xiàn)交E于A，B兩點(diǎn)，線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為M，其垂直平分線(xiàn)交x軸于點(diǎn)C，MN⊥y軸于N，若四邊形...
巧用曲線(xiàn)系探索一類(lèi)斜率比值問(wèn)題 題目（2022年全國(guó)甲卷·理20）設(shè)拋物線(xiàn)C：y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)Dp，0，過(guò)F的直線(xiàn)交C于M，N兩點(diǎn)．當(dāng)直線(xiàn)MD垂直于x軸時(shí)，MF=3．（1）求C的方程；（2）設(shè)直線(xiàn)MD，ND與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A，B...
“雙根”技巧簡(jiǎn)化運(yùn)算，等價(jià)轉(zhuǎn)化探究本質(zhì) 解決軌跡問(wèn)題的一般方法是設(shè)點(diǎn)，通過(guò)題干發(fā)現(xiàn)點(diǎn)所滿(mǎn)足的關(guān)系式，化簡(jiǎn)關(guān)系式求得結(jié)論.當(dāng)題干條件復(fù)雜時(shí)，如何選擇切入點(diǎn)則是解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵.筆者研究了2023屆廣州市高三調(diào)研測(cè)試第21題，通過(guò)該題的解答過(guò)程，很好地體現(xiàn)了如何設(shè)點(diǎn)以及消元的完整過(guò)...
從一道模擬題談拋物線(xiàn)與其根軸圓的位置關(guān)系 1.試題呈現(xiàn) 如圖1，拋物線(xiàn)y2=8x與動(dòng)圓M：（x－8）2+y2=r2（r>0）交于A，B，C，D四個(gè)不同點(diǎn).（1）求r的取值范圍；（2）略.這是2021年廣東省江門(mén)市一模試題題21，本題的答案是43<r<8.本題內(nèi)涵豐...
圓錐曲線(xiàn)中兩類(lèi)定值問(wèn)題的等價(jià)刻畫(huà) 文［1］考察了圓錐曲線(xiàn)的一個(gè)定點(diǎn)問(wèn)題：在圓錐曲線(xiàn)Γ上任取一點(diǎn)P，過(guò)P作兩條斜率分別為k1，k2的直線(xiàn)l1，l2，且l1，l2交Γ于A，B兩點(diǎn)，若k1+k2（或k1k2）為定值，直線(xiàn)AB是否過(guò)定點(diǎn)？本文將探究?jī)深?lèi)類(lèi)似的定值問(wèn)題，并給出等價(jià)刻畫(huà)...
點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式在橢圓和雙曲線(xiàn)中的推廣 一、問(wèn)題提出距離是一種刻畫(huà)研究對(duì)象在時(shí)間、空間上的相隔長(zhǎng)度，亦或是人的認(rèn)知、情感等方面的差距．在中學(xué)數(shù)學(xué)中，距離是一種定義在歐氏幾何中的標(biāo)量，它沒(méi)有方向、只有大小且非負(fù)．點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式是高中數(shù)學(xué)的重要教學(xué)內(nèi)容，也是高考數(shù)學(xué)的重點(diǎn)考察對(duì)...
一道拋物線(xiàn)檢測(cè)題的解法與推廣探究 1 試題呈現(xiàn) （2023屆福建省福州市高三第二次質(zhì)量檢查數(shù)學(xué)試題第21題）已知拋物線(xiàn)E：y2=2px（p＞0），過(guò)點(diǎn)（-2，0）的兩條直線(xiàn)l1，l2分別交E于A、B兩點(diǎn)和C、D兩點(diǎn).當(dāng)l1的斜率為23時(shí)，|AB|=[KF（]13[KF）]...

“模型思想”在2022年新高考全國(guó)Ⅱ卷中的應(yīng)用探析 數(shù)學(xué)建模是對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題、用數(shù)學(xué)方法建構(gòu)模型解決問(wèn)題的素養(yǎng).數(shù)學(xué)模型是借用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言講述現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)量、圖形有關(guān)的故事，使數(shù)學(xué)走出了自我封閉的世界，構(gòu)建了與現(xiàn)實(shí)世界的橋梁.在解題過(guò)程中，“模型思想”的建立，能幫...
數(shù)學(xué)建模視角下與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的不等式問(wèn)題妙解路徑 具有“f（x）±g（x），f（x）g（x），f（x）g（x）”等特征式的不等式求解客觀題，常利用函數(shù)單調(diào)性求解不等式，是近幾年高考命題的一種熱點(diǎn)題型，主要考查利用函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性等函數(shù)性質(zhì)求解不等式，考查轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算求解能力...
構(gòu)建方程求最值，數(shù)形結(jié)合探本質(zhì) 條件最值問(wèn)題由于涉及到的變量較多，而且條件與問(wèn)題之間的關(guān)系并不明確.即使求解結(jié)束了，也會(huì)有巧合的感覺(jué)，本文以一道經(jīng)典試題為例，探究該題的解答過(guò)程及命制原理. 一、試題及分析參考文獻(xiàn) ［1］龍宇.探究一道角平分線(xiàn)為定值的解三角形問(wèn)題［J］....
一類(lèi)數(shù)列型不等式問(wèn)題的證法探究 以基礎(chǔ)函數(shù)“l(fā)nx”作為題設(shè)背景的數(shù)列型不等式證明一類(lèi)問(wèn)題，是出現(xiàn)在近年高考或各地模擬考試中的熱點(diǎn)題型，這類(lèi)問(wèn)題常與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用緊密聯(lián)系，把與lnn（n∈N*）相關(guān)聯(lián)的數(shù)列型不等式的證明設(shè)置在試題的最后一問(wèn)，證題時(shí)利用前面小問(wèn)中的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單...
例談“阿氏圓”在求解三角形最值問(wèn)題中的妙用 阿氏圓是阿波羅尼斯圓的簡(jiǎn)稱(chēng)，即平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為一個(gè)不等于1的正數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓.這個(gè)軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱(chēng)作阿氏圓. 其具體定義如下：如圖1所示，已知A，B是平面內(nèi)的兩個(gè)定點(diǎn)，若平面內(nèi)的點(diǎn)P滿(mǎn)足PAPB=k（...
一道三角最值問(wèn)題的多解及拓展 解三角形問(wèn)題的常用解題思路是利用正余弦定理，實(shí)現(xiàn)邊角的互化后進(jìn)行求解；其次三角形作為平面圖形，其自身具有豐富的幾何性質(zhì)，我們還可通過(guò)幾何的視角來(lái)進(jìn)行求解.本文對(duì)2022年新課標(biāo)Ⅰ卷第18題的多解進(jìn)行分析并將問(wèn)題拓展到一般結(jié)論. 一、題目呈現(xiàn)...
一道解三角形質(zhì)檢試題的探究 一、試題呈現(xiàn) （武漢市23屆高三二調(diào)·題19）在△ABC中，AB=2，D為AB中點(diǎn)，CD=2.（1）若BC=2，求AC的長(zhǎng)；（2）若∠BAC=2∠BCD，求AC的長(zhǎng). 本題以三角形問(wèn)題為載體，主要考查正弦定理、余弦定理、三角恒等變...
例談放縮法在求解導(dǎo)數(shù)問(wèn)題中的妙用 放縮函數(shù)與放縮參量在取值范圍、不等式恒成立等問(wèn)題中經(jīng)常使用，其重要性不必贅述.很多導(dǎo)數(shù)題目可以轉(zhuǎn)化為上述問(wèn)題，學(xué)生在使用上述方法時(shí)，往往會(huì)出現(xiàn)一種傾向，即看到題目就想構(gòu)造函數(shù)然后求函數(shù)的最值，以至于導(dǎo)致后續(xù)函數(shù)式過(guò)于復(fù)雜，而不能求解.事實(shí)上...
例析SOS-Schur方法在不等式中的應(yīng)用 把一個(gè)關(guān)于a、b、c的三元不等式化為M（a－b）2+N（c－a）（c－b）≥0的形式，并設(shè)法證明其成立的方法我們稱(chēng)為SOS-Schur方法，這個(gè)方法是SOS（平方和）方法的變通，平方和方法可以參見(jiàn)文［1］，SOS-Schur方法可以解決一些...
從競(jìng)賽視角探究一道征解題 《數(shù)學(xué)通訊》（上半月刊）2022年第10期問(wèn)題征解第573題隱含了一個(gè)經(jīng)典的競(jìng)賽不等式，本文從競(jìng)賽的視角對(duì)這道征解題的變式作了深入地探究，最后給出了三個(gè)推廣. 問(wèn)題1 已知a，b，c是正數(shù)，求證：a2（b+c）3+b2（c+a）3+c2（a...