非緊致度量空間上的持久性

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摘要：考慮非緊致度量空間上同胚的持久性問題，利用同胚的持久性、等度連續(xù)性、強(qiáng)拓?fù)浞€(wěn)定性、持久跟蹤性等定義，證明：等度連續(xù)且拓?fù)浞€(wěn)定的同胚是持久的；同胚有持久跟蹤性當(dāng)且僅當(dāng)該同胚是持久的且有偽軌跟蹤性；有持久跟蹤性的可擴(kuò)同胚是強(qiáng)拓?fù)浞€(wěn)定的.

關(guān)鍵詞：持久性；等度連續(xù)性；強(qiáng)拓?fù)浞€(wěn)定性；持久跟蹤性；非緊致度量空間

中圖分類號(hào)：O189.11文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號(hào)：1671-5489（2024）05-1022-05

Persistence on Noncompact Metric Spaces

LIU Jiahui，DONG Meihua

（College of Science，YanbianUniversity，Yanji 133002，Jilin Province，China）

Abstract：We considered the persistence problem of homeomorphism on noncompact metric spaces.By using the definitions of persistence，equicontinuity，strongly topological stability，and persistent shadowing property of homeomorphisms，we prove that homeomorphisms that are equicontinuity and topologically stable are persistent，homeomorphisms have persistent shadowing properties if and only if they are persistent and have pseudoorbital shadowing properties，and an expansive homeomorphism with persistent shadowing property is strongly topologically stable.

Keywords：persistence;equicontinuity;strongly topological stability;persistent shadowing property;noncompact metric space

如果一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)的同胚的每個(gè)軌道都可以被該系統(tǒng)中其他同胚經(jīng)過(guò)足夠小擾動(dòng)的一些真軌跟蹤，則該同胚就是持久的.目前，關(guān)于持久性的研究已得到了很多結(jié)果[12.Lewowicz首次提出了持久性動(dòng)力系統(tǒng)的概念，并證明了每個(gè)具有稠密雙曲周期點(diǎn)（包括偽Anosov映射）的二維或三維可擴(kuò)同胚都是持久的.持久性包括持久性和a-持久性[8-9]，本文主要討論}-持久性.Sakai等[2]研究表明，緊致度量空間上的移位映射是拓?fù)浞€(wěn)定的，但不是持久的，而緊致流形上的每個(gè)拓?fù)浞€(wěn)定同胚是持久的.表明相比于拓?fù)浞€(wěn)定性，它是一種更弱的穩(wěn)定性.但持久性不能推出拓?fù)浞€(wěn)定性，因?yàn)閭蜛nosov映射是持久的但不是拓?fù)浞€(wěn)定的.而在螺線群的群自同構(gòu)中二者是等價(jià)的.Dong等[3]證明了在緊致度量空間上，每個(gè)等度連續(xù)且逐點(diǎn)拓?fù)浞€(wěn)定的同胚都是持久的.Khan等給出了上述性質(zhì)的另一種證明方法，并且驗(yàn)證了緊致度量空間上關(guān)于等度連續(xù)同胚且逐點(diǎn)強(qiáng)拓?fù)浞€(wěn)定的Borel概率測(cè)度是強(qiáng)持久的.Kawaguchi]提出了強(qiáng)拓?fù)浞€(wěn)定性的概念.Jung等[5]引入了持久跟蹤性的概念，證明了緊致度量空間上每個(gè)同胚具有持久跟蹤性當(dāng)且僅當(dāng)它具有偽軌跟蹤性且是持久的，并證明了緊致度量空間的每個(gè)強(qiáng)拓?fù)浞€(wěn)定同胚都是持久的.Lee等[6]提出了非緊致度量空間上同胚的可擴(kuò)性、偽軌跟蹤性和拓?fù)浞€(wěn)定性等概念，并將緊致度量空間中的Walters穩(wěn)定性定理和Smale的譜分解定理延伸到了非緊致度量空間中，受上述研究的啟發(fā)，本文將上述在緊致度量空間中的相關(guān)結(jié)論擴(kuò)展到非緊致度量空間中.

1預(yù)備知識(shí)

設(shè)X是緊致度量空間，f是X上的自同胚，d是X上的一個(gè)度量，對(duì)任意的z∈X，定義任意兩個(gè)映射之間的C。（剩余6836字）