探究米勒張角問(wèn)題

——教育數(shù)字化背景下的初中數(shù)學(xué)深度教學(xué)實(shí)踐研究案例

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為進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生的科學(xué)探索精神，培養(yǎng)其數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，推動(dòng)初中數(shù)學(xué)深度教學(xué)課堂的構(gòu)建，促進(jìn)課堂教學(xué)模式的創(chuàng)新與變革，并輻射帶動(dòng)周邊學(xué)校的發(fā)展，作者與6位教師共同組建了“名師課題研究團(tuán)隊(duì)”，在4所學(xué)校開(kāi)展了系統(tǒng)的課例教學(xué)實(shí)踐研究，取得了顯著的教學(xué)成效與學(xué)習(xí)成果.現(xiàn)將其中關(guān)于米勒張角的探究案例整理成文，與廣大數(shù)學(xué)教師及數(shù)學(xué)愛(ài)好者分享，以期為初中數(shù)學(xué)教學(xué)的深化與創(chuàng)新提供參考.

1背景問(wèn)題

在一場(chǎng)足球比賽中，甲乙兩隊(duì)始終處于焦灼狀態(tài)，比賽進(jìn)入最后十分鐘，雙方依舊無(wú)法打破對(duì)方的球門.在需要球星挺身而出時(shí)，甲隊(duì)一名具有遠(yuǎn)射能力的邊鋒球星，帶球沿邊路前進(jìn)，在邊線某處完成突破后突然起腳爆射，一記驚天遠(yuǎn)射進(jìn)球打破了場(chǎng)上僵局，幫助球隊(duì)取得了領(lǐng)先優(yōu)勢(shì)，請(qǐng)你用數(shù)學(xué)知識(shí)解釋一下他選擇起腳射門位置的科學(xué)性，

圖1

為了從數(shù)學(xué)的角度搞清楚這個(gè)問(wèn)題，探究小組設(shè)計(jì)了如下探究過(guò)程：第一步搜集有關(guān)球場(chǎng)的相關(guān)數(shù)據(jù)，第二步從這個(gè)具體問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，第三步提出假設(shè)并驗(yàn)證，第四步邏輯推理，第五步從數(shù)學(xué)的角度找到依據(jù)，闡釋球星的作用，第六步研究一般情況并總結(jié)相關(guān)結(jié)論，第七步應(yīng)用探究成果解決問(wèn)題，第八步查閱資料了解相關(guān)數(shù)學(xué)文化知識(shí)

2 探究過(guò)程

2.1 搜集數(shù)據(jù)

經(jīng)過(guò)調(diào)查，本場(chǎng)比賽足球場(chǎng)地尺寸是世界杯決賽階段足球場(chǎng)尺寸.如圖1，球場(chǎng)長(zhǎng)105米、寬68米，球門長(zhǎng)7.32米、高2.44米，該球星打進(jìn)這粒進(jìn)球時(shí)的起腳位置是位于左邊線距離對(duì)方球門底線34米處

圖2

2.2 抽象問(wèn)題

如圖2，已知矩形 ABCD，AB=105 米， BC=68 米，邊 AD 正中間有定長(zhǎng)線段 EF=7.32 米，邊 AB 上有一動(dòng)點(diǎn) P ，請(qǐng)問(wèn)動(dòng)點(diǎn) P 從點(diǎn) B 移動(dòng)到點(diǎn) A 的過(guò)程中， ∠FPE 是否存在最大值，如果存在請(qǐng)確定此時(shí)點(diǎn)P 的位置.

2.3 驗(yàn)證假設(shè)

根據(jù)數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，探究小組認(rèn)為動(dòng)點(diǎn) P 從點(diǎn) B 移動(dòng)到點(diǎn) A 的過(guò)程中， ∠FPE 是存在最大值的.為了驗(yàn)證假設(shè)，如圖3，探究小組利用幾何畫(huà)板進(jìn)行了驗(yàn)證，并應(yīng)用“制表”功能記錄了動(dòng)點(diǎn) P 從點(diǎn) B 移動(dòng)到點(diǎn)A的過(guò)程中 ∠FPE 部分過(guò)程性數(shù)據(jù)，通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)動(dòng)點(diǎn) P 從點(diǎn) B 移動(dòng)到點(diǎn) A 的過(guò)程中 ∠FPE 先變大后變小，所以可以確認(rèn)假設(shè)是正確的.

圖3

2.4 邏輯推理

如圖4（魯教版五四制九年級(jí)下冊(cè)第五章第 4節(jié)），根據(jù)學(xué)習(xí)圓周角積累的經(jīng)驗(yàn).如圖5，探究小組作出過(guò)點(diǎn) P，E，F(xiàn) 的 ?o ，根據(jù)垂徑定理可知圓心 o 始終在線段 EF 的垂直平分線上.當(dāng) OP⊥AB 時(shí)半徑OP 最小，此時(shí) ∠FPE 最大.作直徑 PM ，連接 EM ，所以 ∠MEP=∠APM=90° ，所以 ∠EMP=∠APE ，因?yàn)?∠EMP=∠AFP ，所以 ∠APE=∠AFP ，又因?yàn)椤螦=∠A ，所以 ΔPAE～ΔFAP ，所以有  即AP2=AE?AF. 根據(jù)球場(chǎng)相關(guān)數(shù)據(jù)可以求出 AE =48.84 米 ∠AF=56.16 米，所以易求 AP≈33.8 米.

圓周角和圓心角的關(guān)系

在射門游戲中，球員射中球門的難易與他所處的位置對(duì)球門的張角（如圖5-21中的∠ABC）有關(guān)。（剩余2317字）