二次型化標準形的方法探究

摘 要：二次型是線性代數的重要組成部分，為了方便計算我們通常會把二次型轉化成標準形.本文主要講述了化二次型為標準型的幾種方法：正交變換法、合同變換法、雅可比法、配方法.

關鍵詞：二次型；標準形；正交變換法；合同變換法；配方法

1 化二次型為標準形的基本方法

本文主要分析了將二次型化為標準形的四種方法：正交變換法、合同變換法、雅可比法以及配方法.

1.1 正交變換法

分析：運用正交變換X=CY，首先要注意C必須是一個正交矩陣，CTAC=B當中對稱矩陣A與對角陣B是合同的，并且CT=C-1，這是因為不能直接合同對角化，需要利用相似對角化C-1AC=B來進行，這就要求C為正交矩陣，否則無法進行CTAC=C-1AC=B這一步驟.

具體步驟：第一步先將二次型表示成矩陣表達式f=XTAX，求出矩陣A；接著根據公式λE-A=0求出A所有的特征值λ1，λ2，…，λn；然后求出對應于特征值的線性無關的特征向量ξ1，ξ2，…，ξn，并將這組特征向量正交化、單位化，就可以得到向量組η1，η2，…，ηn，記C=（η1，η2，…，ηn）；最后做正交變換X=CY，就可以得到要求的二次型的標準形。（剩余5358字）