一道2023年大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽試題的5種解法

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摘 要：對2023年大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽中的一道求積分極限試題進(jìn)行分析，綜合運(yùn)用積分與極限的相關(guān)知識理論，對該題給出了5種解法。解法一用倒代換將被積函數(shù)改寫成可分部積分的形式，再用夾逼準(zhǔn)則求出極限；解法二用換元法將被積函數(shù)轉(zhuǎn)化為含參量積分，然后運(yùn)用含參量積分的連續(xù)性交換積分與極限運(yùn)算的次序，得到一個可計(jì)算的定積分；解法三和解法四將被積函數(shù)表成冪級數(shù)，再用無界函數(shù)的反常積分、冪級數(shù)展開、函數(shù)項(xiàng)級數(shù)一致收斂性、極限與求和交換次序、積分與求和交換次序等知識點(diǎn)給出問題的解；解法五根據(jù)被積函數(shù)在某個充分小鄰域內(nèi)的無界性，將原積分表成兩個積分之和，通過泰勒公式和夾逼準(zhǔn)則求解。（剩余5158字）