巧添中線，妙解三角形問題

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在有關(guān)三角形的問題中，“中點(diǎn)"既是常見考點(diǎn)，也是破解復(fù)雜問題的關(guān)鍵線索之一，當(dāng)我們?cè)诮忸}時(shí)遇到中點(diǎn)時(shí)，添加中線往往能為我們打開一扇通往答案的“大門”.中線不僅能平分線段，還能構(gòu)造全等、轉(zhuǎn)化圖形，搭建連接已知與未知的“橋梁”.本文將通過幾個(gè)典型例題，探討如何巧添中線，以便利用中線的性質(zhì)妙解三角形問題

一、巧添三角形的中線，利用線段之間的比例關(guān)系解題

當(dāng)任意一個(gè)三角形的一邊上有中點(diǎn)時(shí)，可連接中點(diǎn)與頂點(diǎn)構(gòu)成中線，則中線將對(duì)應(yīng)邊平分，分割的比例為1：1.若三角形的三條中線相交，則交點(diǎn)為重心，且重心將每條中線分割的比例為2：1.利用這些線段之間的比例關(guān)系可以解答線段的長(zhǎng)度問題以及三角形的面積問題.

例1如圖1， G 是 ΔABC 的重心，則SΔABG：SΔACG：SΔBCG 的比值為

圖1

解析：如圖1，取 BC 的中點(diǎn) D ，連接 GD 因?yàn)?G 點(diǎn)為 ΔABC 的重心，所以A， G，D 三點(diǎn)共線，

即 AD 是 BC 邊上的中線.

由于 ΔABD ， ΔACD 等底等高，所以

因?yàn)?G 點(diǎn)為 ΔABC 的重心，

所以 AG：GD=2：1

所以 ，

由于 ΔABG ， ΔABD 的高相等，所以SABG

同理可證 業(yè)所以 SΔABG SΔACG . SΔBCG=1：1：1

評(píng)注：本題中，取一邊中點(diǎn)，連接中線，由于中線將對(duì)應(yīng)邊平分，故中線將整個(gè)三角形的面積分成相等的兩部分，而重心又將三角形的中線分割為2：1，所以把以中線為底邊的三角形的面積分為2：1的兩部分.由線段之間的比例關(guān)系能很快推導(dǎo)出各個(gè)三角形的面積比例關(guān)系.

二、巧添三角形的中線，利用“三線合一”的性質(zhì)解題

在遇到與等腰三角形有關(guān)的問題時(shí)，若遇到底邊有中點(diǎn)，常作底邊上的中線.由于等腰三角形底邊上的中線也是底邊上的高和頂角平分線，因此利用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，能同時(shí)得到線段相等或垂直的關(guān)系，以及角相等的結(jié)論，再結(jié)合三角形的其他知識(shí)即可求解線段或角之間的數(shù)量關(guān)系問題。（剩余1140字）