解三角形中的最值和范圍問(wèn)題

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近年高考通常以解三角形為背景的求值范圍與最值問(wèn)題是高考的熱點(diǎn)，常在解答題前兩題或選填題靠后位置出現(xiàn)．準(zhǔn)確理解題意、靈活運(yùn)用正弦、余弦定理對(duì)三角函數(shù)式進(jìn)行邊角互化是解題的關(guān)鍵．解題中要關(guān)注“邊角”隱含條件，領(lǐng)會(huì)化簡(jiǎn)要領(lǐng)，熟練運(yùn)用基本不等式及函數(shù)方程思想．

例1.（2019年全國(guó)Ⅲ卷第18題）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知asinA+C2=bsinA.

（1）求B；

（2）若△ABC為銳角三角形，且c=1，求△ABC面積的取值范圍．

解法1：（1）由題設(shè)及正弦定理得sinAsinA+C2=sinBsinA．

因?yàn)閟inA≠0，所以sinA+C2=sinB.

由A+B+C=180°，可得sinA+C2=cos（π－B2）=cosB2=sinB，

故cosB2=sinB=2sinB2cosB2．

因?yàn)閏osB2≠0，故sinB2=12，因此B=π3．

（2）由題設(shè)及（1）知△ABC的面積S△ABC=12acsinB=34a．

由正弦定理得a=csinAsinC=sin（2π3－C）sinC=32tanC+12．

又因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形，所以0<A<π2，0<C<π2，即0<2π3－C<π2，

解得π6<C<π2，所以tanC∈（33，+SymboleB@），故cosC=2cos2C2－1=2×15－1=－35，從而38<S△ABC<32．

故△ABC面積的取值范圍是38，32．

解法2：（1）由解法1得sinA+C2=sinB，

兩邊平方得sin2A+C2=sin2B，即1－cos（A+C）2=sin2B．

又A+B+C=180°，即cos（A+C）=－cosB，所以1+cosB=2sin2B，

進(jìn)一步整理得2cos2B+cosB－1=0，解得cosB=12，因此B=π3.

（2）由題設(shè)及（1）知△ABC的面積S△ABC=34a．

因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形，且c=1，B=π3，

所以cosA=b2+1－a22b>0，cosC=b2+a2－12ab>0，即b2+1－a2>0，b2+a2－1>0.

又由余弦定理得b2=a2+1－a，所以2－a>0，2a2－a>0，即12<a<2，

所以38<S△ABC<32，故△ABC面積的取值范圍是38，32．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正弦定理、余弦定理和三角形面積公式相互轉(zhuǎn)化。（剩余4773字）